赌场里的数学家：小白也能看懂的21点算牌法解析
图片来源：《击败庄家》封面
01：21点基本规则
每个赌场都有一套21点游戏规则，但总体而言大同小异。
自索普教授公开了算牌法之后，有不少赌场尝试修改规则，但最终发现玩家流失太严重，只好改回来。
这里介绍的是结合电影《决胜21点》来看的典型规则。
玩家数量：1个庄家，1-7个玩家
纸牌数量：1副52张的纸牌（无大小王），但越来越多赌场使用2或4副
发牌规则：庄家给自己发2张牌，再给每个玩家发2张牌。庄家的牌一张朝上（明牌），一张朝下（暗牌）；玩家两张牌都是明牌
点数计算：牌2-10的点数就是牌面数字；花牌（J/Q/K）的点数都是10；牌A可以算1点（硬牌）或11点（软牌）
上述几条都比较简单，接下来的“要牌规则”才是游戏的核心。
玩家要牌规则只有一条：
【1】发牌过后，玩家可以选择要牌（每次1张明牌）或者跳过（停止要牌）
庄家要牌规则稍复杂些：
【1】所有玩家要牌之后，庄家揭开暗牌
【2】庄家点数不超过16时必须继续要牌，大于等于17时必须跳过
【3】如果庄家拿到A，且按11点计算会使总点数大于等于17，又不超过21点，那么庄家必须将该张A算作11点并停止要牌
最后，是获胜规则：
【1】若一方总计点数超过21点，即为“爆牌”落败
【2】玩家和庄家都没有爆牌时，点数大者获胜
【3】玩家和庄家都没有爆牌而且点数相同，打平
有些赌局规则是平局算庄家赢，这会为庄家带来可怕的9%的优势——千万不要参加这样的游戏。
由于篇幅有限，本文跳过分牌/加倍/保险等规则，直击核心原理。
加上这些规则后，算牌法【依然有效】，只是算牌者要记忆的内容更多一些。
看完规则，感觉什么地方不对劲了吗？
没看出来也没关系，接下来进入解谜阶段啦。
02：扑克牌的记忆
学数学时，我们往往需要推导出一些定理，才能更方便地进行研究和探索。
玩21点之前，我们也要从规则推导出这个游戏的“定理”，以便更好地掌控这个游戏。
【定理1】扑克牌是有记忆的。
屠夫曾说过：21点和投资，都是连接过去与未来的游戏。
一轮发牌的结果会影响下一轮甚至下下一轮的结果，因为用的是同一副牌。
所以，21点游戏绝对不属于“独立随机过程”。
举例来说：游戏第一轮就出现了4张A，那么这轮结束之后，这些牌面朝上放入牌堆底部。
第二轮从剩余的牌里抽取，那么从第二轮开始就没有A，这种情况会持续到一副牌用完或者重新洗牌
——在此之前，玩法跟“牌堆有A”完全不一样。
这就像屠夫做资产配置时的相关性分析。
历史上两项资产相关性的高低，会影响我的配置判断和选择。
因为我相信“资产有记忆”，所以它们的历史表现会影响未来。
有同学会问，庄家如果每局结束都洗牌或者换一副新牌，不就可以消除“记忆”了吗？
你别说，赌场还真试过这招，后来主动放弃了。
因为每局洗牌耗时太长太拖沓，没人愿意来玩，带来的损失比有人算牌还高……
根据这条定理，我们得知：
根据已经用过的牌，
可以推测即将出现的牌。
03：爆牌决胜负
【定理2】庄家比玩家更易爆牌。
所谓爆牌，就是手牌总点数超出21点，直接判负。
让我们仔细对比一下玩家和庄家的要牌规则：
【玩家赌场21点怎么玩】可以选择要牌（每次1张明牌）或者跳过（停止要牌）
【庄家】点数不超过16时必须继续要牌，点数大于或等于17时必须跳过
相比起可以自由选择要牌和跳过的玩家来说，庄家只要不超过16点就必须要牌。
这意味着：在这个游戏里，庄家比玩家更易爆牌！
没反应过来的同学，让屠夫帮你理一下思路。
点数不超过11时，要牌是安全的。
因为纸牌最大点数只有10点（10/J/Q/K），A可以算1也可以算11，不会出现爆牌的情况。
点数到达12～16时，开始出现爆牌的风险。
由于庄家必须要牌，一旦抽中10点牌，必爆无疑。
事实上，庄家点数13时抽中9也爆，14时抽中8也爆，15时抽中7也爆，16时抽中6也爆……
总体而言，高点数的牌越多，对庄家越不利。
一般人会把注意力集中在点数大小上，忽略了“爆牌”这一要素。
是不是很眼熟呀？
屠夫在《给我1枚硬币》里，就是跳出常规的概率思维，使用“爆仓”让984名赌徒出局。
这次不过是把“概率”换成了“点数大小”，“爆仓”换成“爆牌”而已。
第一条定理告诉我们，根据已用牌可以推算未来牌；
第二条定理告诉我们，高点数牌越多庄家越易爆牌。
两者结合，就不难理解算牌法的思路了。
04：算10法
索普教授前后共提出多种算牌法，其中以算10法和完全计点法（又叫高低计点法）的效果最好。
算10法是第1版《击败庄家》的主力制胜策略。顾名思义，这个方法跟10点牌有关。
一副52张的纸牌，可以简单划分成两类：
16张10点牌（四种花色的10/J/Q/K）
36张其他牌
完全未使用过的牌堆里，这两者的比率是 36 / 16 = 2.25。
而每发一张牌，余牌堆自然少一张，那么分子或者分母就会减1，从而整个比率会发生变化。
根据定理2，高点数牌越多庄家越易爆牌，而10点牌显然属于高点数。
这个比率越低，证明余牌中的10点牌占比越大，玩家的优势越明显。
索普教授在书中提供了不同比率里玩家的优势差异：
算10法中玩家的大致优势（来源：击败庄家）
实战中，你还需要结合庄家明牌点数和自己的手牌，作出是否要牌、分牌、加倍等决策，从而提升自己在这一局里的胜率。
下图就是算10法的完整策略表：
算10法完整策略表（来源：击败庄家）
为什么要计算这么一个比率呢？
道理很简单——“少赔多赚”：
优势明显才下重注，
没有优势时少下注。
这个比率，就是“优势”的晴雨表。
当比率低于2.25时，说明余牌中的10点牌较多，玩家优势变大，可以下重注；
当比率高于2.25时，说明余牌中的10点牌较少，玩家优势减小，最好少下注。
05：完全计点法
完全计点法（又叫高低计点法）是与算10法完全不同的一套体系，电影《决胜21点》用的就是完全计点法。
与只考虑10点牌的算10法不同，完全计点系统将所有牌划分成三种高低点数：+1、0、-1：
+1牌包括 2、3、4、5、6
0点牌包括7、8、9
-1牌包括10、J、Q、K、A
每见到一张牌就更新一次高低点数，比如见到如下几张牌：
5（+1），5（+1），3（+1），8（0）
那么合计点数是+3。
《决胜21点》里特意用了几分钟的时间，借助男主第一次算牌来展现高低点数的计算，其实这只是完全计点法的冰山一角
——有了高低点数，还要算出高低索引值：
高低索引值 = 高低点数 / 剩余牌数 * 100
同时计算高低点数并追踪剩余牌数，再实时地用除法求出索引值，并不是一件轻松的事，各位不妨拿起一副扑克牌自己试试。
接下来的事情就跟算10法很像了：结合庄家明牌点数和自己的手牌，作出是否要牌、分牌、加倍等决策。
下面两张图就是索普教授归纳的“完全计点法要牌策略表”：
完全计点法要牌策略表：硬点数（来源：击败庄家）
完全计点法要牌策略表：软点数（来源：击败庄家）
仔细对比会发现，完全计点法从本质上和算10法十分相近。
两者是共通的，都基于上述的两条定理展开：
因为扑克牌有记忆，所以算10法跟踪余牌里两种牌的张数，完全计点法跟踪高低点数和剩余牌数；
因为庄家更易爆牌，所以算10法的比率越低玩家越有利，完全计点法的索引值越高玩家越有利。
到这里，算牌法的原理已经基本解释完。你已经可以凭借这套方法，跟朋友玩21点时大杀四方了……
等等，真实的21点里还涉及下注——该怎么下呢？
06：下注和分工
在算10法的介绍里，屠夫提过“有优势时下重注，无优势时下小注”这个基本原则。
事实上，《击败庄家》中没有给出算10法的下注策略，只给出了完全计点法的下注建议：
下高低索引值一半基本单位的赌注。
也就是说，高低索引值是2或更低时，下1个单位赌注；高低索引值是4时，下2个单位；高低索引值是6时，下3个单位；以此类推。
索普教授还特意提醒：别下超过5倍的赌注，以免引起赌场怀疑。
那么，《决胜21点》里的算牌小组又是怎么一回事呢？
其实那部电影也是根据真实事件改编的。
自从索普教授出版《击败庄家》后，21点的系统玩家（掌握算牌法的人）越来越多，赌场的警惕性也越来越强，千方百计阻挠算牌甚至直接驱逐。
别说系统玩家，连索普教授自己，到后期也已经难以施展算牌法了。
于是MIT（麻省理工）的学生们想到了团队合作。
MIT算牌小组的成员分成两类角色：
侦查员（Spotter）分散在不同赌桌上，总是下最低赌注。
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他们的目的是在洗牌或使用新牌时就开始用算牌法对这张赌桌的牌进行追踪，当牌堆“变热”（玩家优势大）时发出信号（比如双手在背后交叉）。
（来源：决胜21点）
大赢家（Big Player）看到信号后，来到赌桌前下重注。
牌堆经过侦查员追踪，此时已经是玩家优势较大的局面，但下重注的是刚进场的另一个人，就不容易引起怀疑。
MIT算牌小组发明了一套暗语，好让大赢家进场时马上知道这张赌桌的情况（比如“甜”表示“+16”）。
（来源：决胜21点）
随后侦查员和大赢家一边下注一边继续算牌，等到牌堆“冷下来”（玩家优势小）的时候，大赢家离桌退场。
通过这套分工体系，MIT算牌小组规避了“一个人有时重注有时小注”的可疑行为，成功躲过赌场的重重监视，一个周末卷走数十万美金。
07：不平衡与可重复
介绍到这里，21点算牌法解析已经讲完了，不知大家看得是否过瘾？
过瘾归过瘾，可千万要远离赌博哦。
在《3%优势与算牌型投资者》屠夫曾说：
算牌大概能给玩家带来每局3%的优势。
恰恰是这不起眼的3%，打破了系统的平衡，让玩家在一次又一次的重复中趋近于必胜。
认真分析并不能保证每一笔投资都赚钱，但可以提高每一笔投资的成功率。
就像那不起眼的3%，带来了不平衡。
在优势情况下，我们还需要有充足的耐心，用一次又一次重复的赌局将我们领向最终的胜利。
不平衡+可重赌场21点怎么玩复。
这，就是赌场数学家的奥秘。
[ 作者简介 ]
屠夫1868，一个秉持价值理念、专攻资产配置、追求财务自由的量化投基者。